LaTeX 数学公式渲染测试文档

本文档覆盖行内公式、块级公式、矩阵、微积分、代数、级数、概率、分段函数等绝大多数常见 LaTeX 语法场景，可用于全面测试 Markdown 站点的数学公式渲染能力。

一、基础语法与行内公式

行内公式使用单个美元符号包裹，嵌入正文段落中。例如质能方程 $E = mc^2$、勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$，以及二次方程求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

行内公式同样支持上下标、希腊字母与函数符号，例如 $\alpha^2 + \beta_1 = \gamma_{ij}$，以及三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$。

二、块级公式（独立居中显示）

块级公式使用双美元符号包裹，单独成行并居中渲染：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

2.1 代数与多项式

二项式定理：

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

韦达定理（根与系数关系）：

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[6pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$$

2.2 分式与根式嵌套

多层分式与根式嵌套：

$$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + x^2}{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2x^2}}}{2}$$

连分数：

$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}}$$

三、微积分

3.1 导数与微分

基本幂函数求导：

$$\frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1}$$

复合函数链式法则：

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

高阶导数：

$$\frac{d^n}{dx^n} e^{ax} = a^n e^{ax}$$

拉普拉斯方程（二阶偏微分）：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

3.2 积分

不定积分：

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$

定积分：

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1$$

二重积分（累次积分形式）：

$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{a}^{b} dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy$$

球坐标下的三重积分：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dV = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_{0}^{R} f(r,\varphi,\theta) r^2 dr$$

格林公式（曲线积分与二重积分转换）：

$$\oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$$

3.3 微分方程

一阶线性非齐次微分方程：

$$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

其通解公式：

$$y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)$$

二阶常系数齐次线性微分方程：

$$y'' + py' + qy = 0$$

四、矩阵与线性代数

4.1 多种矩阵括号形式

圆括号矩阵（pmatrix）：

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

方括号矩阵（bmatrix）：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

行列式（vmatrix）：

$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

4.2 矩阵运算

二阶矩阵乘法：

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$$

伴随矩阵求逆：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$$

特征值与特征向量定义：

$$A \vec{x} = \lambda \vec{x}$$

4.3 向量运算

三维向量表示：

$$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$$

点积（内积）：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i$$

叉积（外积）：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

五、级数与极限

5.1 重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$$

5.2 级数展开

指数函数的泰勒展开：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

傅里叶级数：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$$

其中系数计算公式：

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx$$

5.3 连乘与多重求和

阶乘的连乘表示：

$$n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$$

双重求和：

$$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}$$

六、概率与统计

6.1 基础概率公式

全概率公式：

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A|B_i)$$

贝叶斯公式：

$$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) P(A|B_j)}$$

6.2 常见概率分布

正态分布概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

二项分布：

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

6.3 数字特征

连续型随机变量的数学期望：

$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$$

方差的定义式与展开式：

$$D(X) = E\left[ (X - E(X))^2 \right] = E(X^2) - [E(X)]^2$$

七、分段函数与方程组

7.1 分段函数

绝对值函数：

$$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

狄利克雷函数：

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$

7.2 线性方程组

三元一次方程组：

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$$

八、希腊字母与特殊符号

8.1 希腊字母

小写：

$$\alpha \quad \beta \quad \gamma \quad \delta \quad \epsilon \quad \zeta \quad \eta \quad \theta \quad \iota \quad \kappa \quad \lambda \quad \mu$$ $$\nu \quad \xi \quad \pi \quad \rho \quad \sigma \quad \tau \quad \upsilon \quad \phi \quad \chi \quad \psi \quad \omega$$

大写：

$$\Gamma \quad \Delta \quad \Theta \quad \Lambda \quad \Xi \quad \Pi \quad \Sigma \quad \Phi \quad \Psi \quad \Omega$$

8.2 常用运算符与逻辑符号

$$\forall \quad \exists \quad \in \quad \notin \quad \subset \quad \supset \quad \cup \quad \cap$$ $$\Rightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \neq \quad \leq \quad \geq \quad \approx \quad \equiv \quad \infty$$

九、复杂综合公式

欧拉公式（复分析）：

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

代入 $\theta = \pi$ 得到欧拉恒等式：

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

麦克斯韦方程组（微分形式）：

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \\[6pt] \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\[6pt] \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[6pt] \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{cases}$$

纳维-斯托克斯方程（流体力学）：

$$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$$