第02章确知信号

确知信号的频域性质

频谱和频谱密度

满足迪利克雷条件的周期为 $T_0$ 的功率信号可展开为傅里叶级数

s\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi nt/T_{0}}

定义频谱为其傅里叶级数的系数 $C_n$

C_n=C(nf_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi nf_0t}\mathrm{d}t

对应傅里叶级数理论来讲，频谱有许多特性

傅里叶系数反应了信号中各次谐波的幅度值和相位值

C_{n}=|C_{n}|e^{j\theta_{n}}

$|C_{n}|$ 随频率变化的特性被称为幅度谱， $\theta_{n}$ 随频率变化的特性称为相位谱

$n=0$ 时，表示直流分量
正频率和负频率存在复数共轭关系，即负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的
$C_{n}=C_{n}^{*}$
周期信号的频谱是离散谱

设一个能量信号为 $s(t)$ ，则定义频谱密度为其傅里叶变换 $S(f)$ :

S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t

如果要求原信号，只需要进行傅里叶逆变换:

s\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}S\left(f\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}f

能量信号的频谱函数是离散谱，功率信号的频谱密度是连续谱，二者都可称为“频谱”

实际上，周期信号一般是功率信号，对应傅里叶级数，能量信号一般是非周期信号，对应傅里叶变换

在求无限长功率信号的频谱密度时，常常使用冲激函数表示，引入冲激函数后，许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号等也存在傅里叶变换，从而把各种信号的分析方法统一起来

复习:冲激函数的性质傅里叶变换的性质常用的傅里叶变换

能量谱和功率谱

能量(或功率)谱密度用来描述信号的能量(或功率)在频域上的分布情况。它对研究通信系统的滤波性能、抗噪声性能以及确定信号带宽等问题起着重要的作用。尤其是随机信号的频率特性通常用功率谱来描述。

能量信号的能量谱密度

已知能量信号 $s(t)$ 的能量为 $E$ ，有

E=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t

根据巴塞伐尔定理:

E=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}|S\left(f\right)|^{2}\mathrm{d}f\tag{1}

$Parseval$ 定理是在能量上的，它表明能量信号的能量既可以通过时间函数又可以通过频谱函数来计算。这体现了能量信号的能量在时域与频域中保持守恒。

定义能量谱密度

G(f)=\mid S(f)\mid^{2}\quad(\mathrm{J/Hz})

功率信号的功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，所以 $1$ 式积分并不存在，不能计算功率信号的能量谱密度，但是可以求出功率谱密度.

将信号 $x(t)$ 截断 $T$ 长度变成 $S_{T}(t)$ ，其中 $-\frac{T}{2}<t<\frac{T}{2}$ ，这里 $S_{T}(t)$ 变成能量信号，可以求出能量谱密度 $|S_{T}(f)|^{2}$

同样的，根据巴塞伐尔定理:

E=\int_{-T/2}^{T/2}s_{T}^{2}(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}|S_{T}(f)|^{2}\mathrm{d}f

定义信号的功率谱密度

P(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}|S_{T}(f)|^{2}

确知信号的时域性质

自相关函数

定义能量信号的自相关函数

R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t\quad-\infty<\tau<\infty

当 $\tau=0$ 时，能量信号的自相关函数等于信号的能量，即

R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}(t)\mathrm{d}t=E

能量信号的自相关函数的傅里叶变换是其能量谱密度，即

S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau

定义功率信号的自相关函数

R(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t\quad-\infty<\tau<\infty

当 $\tau=0$ 时，功率信号的自相关函数等于信号的平均功率，即

R(0)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}(t)\mathrm{d}t=P

补:周期性功率信号 $T$ 都可以转换为 $T_{0}$ ，下同

周期性功率信号的自相关函数的傅里叶变换是其功率谱密度，即

P(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau

周期信号的功率谱密度也可以写为

P(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}\delta(f-nf_{0})

根据上述关系，求能量谱/功率谱密度或自相关函数时，通常结合时域卷积定理

x(t)*h(t)\xrightarrow{\mathcal{F}}X(f)\cdot H(f)

求能量/功率方法：

求自相关函数，通过傅里叶变换转化成能量谱/功率谱密度，然后在相应区间上积分
频谱的平方是能量谱，也是两个相同信号在时域上的卷积，最后再令 $\tau=0$

互相关函数

定义能量信号的互相关函数

R_{12}\left(\tau\right)=\int_{-\infty}^{\infty}s_{1}\left(t\right)s_{2}\left(t+\tau\right)\mathrm{d}t\quad-\infty<\tau<\infty

能量信号的互相关函数的傅里叶变换是互能量谱密度，即

S_{12}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{12}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau

定义功率信号的互相关函数

R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_{1}(t)s_{2}(t+\tau)\mathrm{d}t\quad-\infty<\tau<\infty

周期性功率信号的互功率谱密度是其互相关函数的傅里叶级数的系数