第04章信道

信道的分类

信道\left\{ \begin{array}{l}狭义信道\left\{\begin{array}{l}有线信道\\无线信道\end{array}\right.\\广义信道\left\{\begin{array}{l}调制信道\left\{\begin{array}{l}恒参信道\\随参信道\end{array}\right.\\编码信道\left\{\begin{array}{l}有记忆信道\\无记忆信道\end{array}\right.\end{array}\right. \end{array}\right.

有线信道可以分为

无线信道是可以传输电磁波的空间

恒参信道:信道特性参数随时间缓慢变化或不变

随参信道:信道特性参数随时间随机变化

e_{\mathrm{o}}(t)=f[e_{\mathrm{i}}(t)]+n(t)

或者

e_\mathrm{o}(t)=k(t)e_\mathrm{i}(t)+n(t)

信道中的噪声 $n(t)$ 无论有无信号是始终存在的,因此通常称它为加性噪声或加性干扰

对于 $k(t)$ 而言,它表示信道的特性是随时间变化的,随时间变化的信道称为时变信道, $k(t)$ 称为乘性干扰

特性随机变化的信道称为随参信道,特性基本上不随时间变化的信道称为恒参信道

编码后的信号是数字序列,我们关心的是数字信号经信道传输后的差错情况,即误码概率,因此编码信道的模型常用转移概率来描述。

信道噪声 $n(t)$ 是通信系统中各处噪声的集中表示

主要代表:起伏噪声(热噪声等)

统计特性:高斯白噪声

我们用 $P(x_{i})$ 表示信源发送符号 $x_{i}$ 的概率

$P(y_{j})$ 表示接收端收到 $P(y_{j})$ 的概率

$P(x_i/y_j)$ 表示在发送 $x_{i}$ 下收到 $P(y_{j})$ 的概率,也称转移概率

前面定义每个发送符号的平均信息量为信源的熵

H(x)=-\sum_{i=1}^{n}P(x_{i})\log_{2}P(x_{i})

现在定义因信道噪声而损失的平均信息量

H\left(x/y\right)=-\sum_{j=1}^mP(y_j)\sum_{i=1}^nP(x_i/y_j)\log_2P(x_i/y_j)

那么收到一个符号时获得的平均信息量

\begin{aligned} \frac{平均信息量}{符号}&=-\sum_{i=1}^{n}P(x_{i})\log_{2}P(x_{i})-\left[-\sum_{j=1}^mP(y_j)\sum_{i=1}^nP(x_i/y_j)\log_2P(x_i/y_j)\right]\\\\ &=H\left(x\right)-H\left(x/y\right) \end{aligned}

定义信道容量

C=\max_{P(x)}\left[H(x)-H(x/y)\right]

设单位时间内信道传输的符号数为 $r$ ,则信道每秒传输的平均信息量(信息传输速率 $R$ )为

R=r\left[H(x)-H(x/y)\right]

所以容量

C_{\mathrm{t}}=\max_{P(x)}\left\{r\left[H(x)-H(x/y)\right]\right\}

香农公式：对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道,其信道容量为

C_t=B\mathrm{log}_2\left(1+\frac{S}{N}\right)\quad\mathrm{(b/s)}

其中 $S$ 为信号平均功率( $W$ ) $N$ 为噪声功率( $W$ ) $B$ 为带宽( $Hz$ )

设噪声单边功率谱密度为 $n_{0}$ 则 $N=n_{0}B$ 令 $x=\frac{S}{n_{0}B}$

\lim_{B\to\infty}C_t=\lim_{x\to0}\frac{S}{n_0}\mathrm{log}_2\left(1+x\right)^{1/x}=\frac{S}{n_0}\mathrm{log}_2\mathrm{e}\approx1.44\frac{S}{n_0}\quad\mathrm{(b/s)}